Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

АЛГЕБРА: Числа

2.2. Целые и рациональные числа. Проценты

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если m кратно n).

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут . Число, записанное в таком виде, называется смешанным числом. Оно состоит из целой и дробной части.

1. Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели одинаковые, то числители складывают и оставляют тот же знаменатель: ;

2. Вычитание обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

а) если знаменатели одинаковые, то

3. Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

.

Теорема 10.

2)60Ч 1,25 = 75.

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки

Лекция: Дроби, проценты, рациональные числа

Рациональные числа - это те, которые можно выразить в виде обыкновенной дроби.

Итак, что же все-таки такое дроби?

Дробь - число, которое показывает некоторое количество долей целого, то есть единицы.

Дроби могут быть десятичные и обыкновенные. В качестве математического действия, дробь - это, ничто иное, как деление. Любая дробь состоит из числителя (делимого), который находится вверху, знаменателя (делителя), который находится внизу, и черты дроби, которая выполняет непосредственно функцию деления. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делят некоторое целое. Числитель показывает, сколько равных частей из целого было взято.

Дробь может быть смешанной, то есть иметь и дробную и целую часть.

Например , 1; 5,03.

Обыкновенная дробь может иметь произвольный числитель и знаменатель.

Например , 1/5, 4/7, 7/11 и т.д.

Десятичная дробь в знаменателе всегда имеет числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Например , 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06 и т.д.

Над дробями можно производить те же математические действия, что и над целыми числами:

1. Сложение и вычитание дробей

Для данных дробей наименьшим числом, которое делится на один и второй знаменатель, является число 30.

Чтобы привести обе дроби к знаменателю 30, следует найти дополнительный множитель. Чтобы в первой дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 6. Чтобы во второй дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 5. Чтобы значение дроби не изменилось, на данные числа умножаем и числитель, и знаменатель. В результате этого получаем:

Чтобы сложить или вычесть числа с одинаковыми знаменателями, следует в результате оставить знаменатель 30, а числители сложить:

2. Умножение дробей

При умножении двух дробей, следует перемножить их числители, после чего перемножить знаменатели, и записать результат:

3. Деление дробей

При делении двух дробей необходимо вторую дробь перевернуть и выполнить действие умножение:

4. Сокращение дробей

Если числитель и знаменатель кратный некоторому одинаковому числу, то такую дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на данное число.

В первоначальной дроби и числитель, и знаменатель делится на число 3, поэтому всю дробь можно сократить на данное число.

5. Сравнение дробей

- Если происходит сравнение дробей, которые имеют одинаковый знаменатель, но разный числитель, то больше будет та дробь, у которой больше числитель. То есть данное сравнение сводится к сравнению числителей.

- Если дроби имеют одинаковые числители, но различные знаменатели, то необходимо сравнить знаменатели. Та дробь будет больше, чей знаменатель меньше.

- Если дроби имеют разные и числители, и знаменатели, то их необходимо привести к общему знаменателю.

Общий знаменатель - 42, следовательно, дополнительный множитель первой дроби - это 7, а дополнительный множитель для второй дроби - это 6. Получаем:

Теперь сравнение сводится к первому правилу. Больше та дробь, у которой больше знаменатель:

Проценты

Любое число, которое составляет одну сотую часть от некоторого целого, называют одним процентом .

1% = 1/100 = 0,01.

Чтобы перевести некоторую дробь в процентную запись, её следует перевести в десятичную дробь, а после этого умножить на 100%.

Например,

Проценты используют в трех основных случаях:

1. Если необходимо найти некоторый процент от числа. Представьте себе, что ежемесячно вы получаете 10% от заработной платы Ваших родителей. Однако, если Вы не знаете математики, то не сможете рассчитать, чему будут равны Ваши ежемесячные доходы. Итак, это сделать достаточно просто.

Представим, что Ваши родители ежемесячно получают 100000 рублей. Чтобы найти сумму, которую Вы должны получать ежемесячно, необходимо прибыль родителей разделить на 100 и умножить на 10%, которые Вы должны получить:

100000: 100 * 10 = 10000 (рублей).

2. Если Вам нужно узнать, какую сумму получают Ваши родители ежемесячно, если Вы знаете, что они Вам дают 6000 рублей, а это, в свою очередь, 3%, то данное действие с процентами называется нахождением числа по его проценту. Для этого необходимо получаемую сумму умножить на 100 и разделить на Ваши проценты:

6000 * 100: 3 = 200000 (рублей).

3. Если Вы в течение дня выпиваете 1 л воды, а Вам, например, необходимо выпить 2 литра воды, то Вы с легкостью можете найти значение процента выпитой воды. Для этого необходимо 1 л разделить на 2 л и умножить на 100%.

1: 2 * 100% = 50%.

Транскрипт

2 ОСНОВНАЯ ВОЛНА 2013 ЦЕНТР УРАЛ СИБИРЬ ВОСТОК: дроби проценты рациональные числа Теория: Множество рациональных чисел 1 1 ~ HOD ge N Z Основное свойство 0 0. Пропорция - это равенство двух отношений. Свойство: следствия Схема прямо пропорциональной зависимости. Основные свойства 1. Упорядоченность: 0 ; 0 ; Операция сложения: ; HOK 3. Операция умножения и деления: 4. Транзитивность отношения порядка: 5. Коммутативность: 6. Ассоциативность: 7. Дистрибутивность: 8. Наличие нуля: Наличие противоположных чисел: Наличие единицы: Наличие обратных чисел: R R. 12. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. 2 B1

3 13. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число можно взять столько единиц что их сумма превзойдёт а. N k Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать. Любую рациональную дробь можно превратить в равную ей десятичную путем деления в столбик числителя на знаменатель. 1 остаток может оказаться равным нулю и частное выразится конечной десятичной дробью например 3:4= нуль в остатке никогда не получится так как остатки будут бесконечно повторяться и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. Например 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Проценты. Сотая часть числа называется его процентом. Три типа задач на проценты A 100% 1. Нахождение процентов от данного числа A p% x. x p% 100% Чтобы найти р % от числа «А» нужно найти 1 % от «А» А:100 % и умножить на р %. 2. Нахождение числа по другому числу и его величине в процентах от искомого числа. x 100% 100% x. p% p% Чтобы найти число по данной величине «а» его р % нужно найти 1 % от искомого числа разделив данную величину «а» на р % и умножить полученный результат на 100 % A 100% 3. Нахождение процентного отношения чисел. 100% x% x% A Надо найти отношение числа «а» к числу «А» и умножить на 100 %. 3

4 ЦЕНТР Вариант 1;8. Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 105 мг активного вещества на каждый возрасте 5 месяцев и весом 8 кг в течение суток? Вариант 2. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 04 мг активного вещества на каждый возрасте трех месяцев и весом 5 кг в течение суток? Вариант 3. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1 мг активного вещества на каждый возрасте четырех месяцев и весом 7 кг в течение суток? Вариант 4;5. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 9% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 135 мг активного вещества на каждый возрасте четырех месяцев и весом 8 кг в течение суток? Вариант 6. Одна таблетка лекарства весит 30 мг и содержит 5% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 075 мг активного вещества на каждый возрасте 5 месяцев и весом 8 кг в течение суток? Вариант 7. Одна таблетка лекарства весит 40 мг и содержит 5% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 125 мг активного вещества на каждый возрасте трех месяцев и весом 8 кг в течение суток? Заметим что восемь вариантов составлены из шести задач с разными числовыми данными но одинакового содержания. Необходимую информацию для расчета выписали в таблицу: Вес одной Процентное содержание Варианты Рецепт мг Вес ребенка кг таблетки мг активного вещества % 1 и и Решение варианта 1. Идея: Известно процентное содержание активного вещества в одной таблетке значит можно найти соответствующее количество вещества в мг. Зная вес ребенка и дозировку активного вещества на 1 кг веса можно найти суточную норму активного вещества. Тогда количество таблеток частное от деления суточной нормы активного вещества на количество активного вещества в одной таблетке. Действия: 1. Определить количество активного вещества в одной таблетке. Составляем пропорцию: вес одной таблетки 70 мг возьмем за 100% а 4% от этого веса будет х мг количество активного вещества в одной таблетки. Запишем схематически эту пропорцию %. Отсюда находим неизвестный член пропорции. Для этого надо перемножить x 4% известные члены одной диагонали и разделить на известный член другой диагонали: 70 4% x 28 мг. 100% 4

5 2. Определить количество активного вещества прописанного врачом по рецепту с учетом веса ребенка. Дозу вещества надо умножить на вес ребенка: мг. Значит ребенку нужно принимать в сутки 84 мг активного вещества Определить количество таблеток содержащих 84 мг активного вещества. 3 таб. 28 Ответ 3. Другие варианты решаются аналогично. В УРАЛ Вариант 1;5. В квартире где проживает Анастасия установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 сентября счетчик показывал расход 122 куб.м воды а 1 октября 142 куб.м. Какую сумму должна заплатить Анастасия за холодную воду за сентябрь если цена 1 куб.м холодной воды составляет 9 руб.90 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 2. В квартире где проживает Максим установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 февраля счетчик показывал расход 129 куб.м воды а 1 марта 140 куб.м. Какую сумму должен заплатить Максим за холодную воду за февраль если цена 1 куб.м холодной воды составляет 10 руб.60 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 3. В квартире где проживает Алексей установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 июня счетчик показывал расход 151 куб.м воды а 1 июля 165 куб.м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за март если цена 1 куб.м холодной воды составляет 20 руб.80 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 4. В квартире где проживает Ася установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 мая счетчик показывал расход 84 куб.м воды а 1 июня 965 куб.м. Какую сумму должна заплатить Анастасия за горячую воду за январь если цена 1 куб.м горячей воды составляет 72 руб.60 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 6;8. В квартире где проживает Анфиса установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 сентября счетчик показывал расход 239 куб.м воды а 1 октября 349 куб.м. Какую сумму должна заплатить Анфиса за горячую воду за сентябрь если цена 1 куб.м горячей воды составляет 78 руб.60 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 7. В квартире где проживает Алла установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 июля счетчик показывал расход 772 куб.м воды а 1 августа 797 куб.м. Какую сумму должна заплатить Алла за горячую воду за июль если цена 1 куб.м горячей воды составляет 144 руб.80 коп.? Ответ дайте в рублях. Регион «УРАЛ» решал задачу на оплату расхода воды по счетчику. Числовые данные для расчета по вариантам занесли в таблицу: Вари Показания счетчика на начало Показания счетчика на начало Цена 1 куб.м анты календарного месяца куб.м следующего календарного месяца куб.м 1 и рубль 90 копеек рубль 60 копеек рубль 80 копеек рубль 60 копеек 6 и рубль 60 копеек рубль 80 копеек Решение варианта 1. Идея: Известны показания счетчика на начало календарного месяца куб.м и на начало следующего календарного месяца куб.м. Значит можно узнать расход воды за месяц подлежащий к оплате. Зная количество кубометров израсходованной воды и цену одного кубометра воды можно найти сумму которую надо заплатить за эту воду. 5

6 Действия: Определить расход воды за месяц Определить сумму к оплате за израсходованную воду за месяц p Ответ 198. Остальные варианты решаются аналогично. В СИБИРЬ Вариант 1. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 40 копеек. Счетчик электроэнергии 1 июня показывал киловатт-часов а 1 июля показывал киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за июнь? Ответ дайте в рублях. Вариант 2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 669 киловатт-часов а 1 декабря показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях. Вариант 3. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубль 40 копеек. Счетчик электроэнергии 1 октября показывал киловатт-час а 1 ноября показывал киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за октябрь? Ответ дайте в рублях. Вариант 4;5. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубль 50 копеек. Счетчик электроэнергии 1 января показывал киловатт-часов а 1 февраля показывал киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за январь? Ответ дайте в рублях. Вариант 6. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 сентября показывал киловатт-часов а 1 октября показывал киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь? Ответ дайте в рублях. Вариант 7;8. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 70 копеек. Счетчик электроэнергии 1 апреля показывал киловатт-час а 1 мая показывал киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за апрель? Ответ дайте в рублях. Регион «СИБИРЬ» решал задачу на оплату расхода электроэнергии по счетчику. Числовые данные для расчета по вариантам занесли в таблицу: Вари анты Показания счетчика на начало календарного месяца кватт-час Показания счетчика на начало следующего календарного месяца кваттчас Стоимость 1 киловатт-часа рубль 40 копеек рубль 20 копеек рубль 40 копеек 4 и рубль 50 копеек рубль 30 копеек 7 и рубль 70 копеек Решение варианта 1. Идея: Известны показания счетчика на начало календарного месяца киловатт-час и на начало следующего календарного месяца киловатт-час. Значит можно узнать расход электроэнергии за месяц подлежащий к оплате. Зная количество киловатт-часов израсходованной электроэнергии и цену одного киловатт-часа можно найти сумму которую надо заплатить за эту электроэнергию. Действия: Определить расход электроэнергии за месяц Определить сумму к оплате за израсходованную электроэнергию за месяц. 6

7 p Ответ Остальные варианты решаются аналогично. В ВОСТОК Вариант1;5;8. В квартире где проживает Екатерина установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 сентября счетчик показывал расход 189 куб.м воды а 1 октября 204 куб.м. Какую сумму должна заплатить Екатерина за холодную воду за сентябрь если цена 1 куб.м холодной воды составляет 16 руб.90 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 2. В квартире где проживает Валерий установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 марта счетчик показывал расход 182 куб.м воды а 1 апреля 192 куб.м. Какую сумму должен заплатить Валерий за холодную воду за март если цена 1 куб.м холодной воды составляет 23 руб.10 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 3. В квартире где проживает Марина установлен прибор учета расхода холодной воды счетчик. 1 июля счетчик показывал расход 120 куб.м воды а 1 августа 131 куб.м. Какую сумму должна заплатить Марина за холодную воду за июль если цена 1 куб.м холодной воды составляет 20 руб.60 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 4. В квартире где проживает Егор установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 ноября счетчик показывал расход 879 куб.м воды а 1 декабря 969 куб.м. Какую сумму должен заплатить Егор за горячую воду за ноябрь если цена 1 куб.м горячей воды составляет 108 руб.20 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 6. В квартире где проживает Михаил установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 марта счетчик показывал расход 708 куб.м воды а 1 апреля 828 куб.м. Какую сумму должен заплатить Михаил за горячую воду за март если цена 1 куб.м горячей воды составляет 72 руб.20 коп.? Ответ дайте в рублях. Вариант 7. В квартире где проживает Анастасия установлен прибор учета расхода горячей воды счетчик. 1 января счетчик показывал расход 894 куб.м воды а 1 февраля 919 куб.м. Какую сумму должна заплатить Анастасия за горячую воду за январь если цена 1 куб.м горячей воды составляет 103 руб.60 коп.? Ответ дайте в рублях. Задачи региона «ВОСТОК» совпали с задачами региона «УРАЛ» с разницей в числовых данных. Варианты Показания счетчика на начало календарного месяца куб.м Показания счетчика на начало следующего календарного месяца куб.м Цена 1 куб.м 1 и 5 и рубль 90 копеек рубль 10 копеек рубль 60 копеек рубль 20 копеек рубль 20 копеек рубль 60 копеек Поэтому идея решения и действия будут аналогичные рассмотренным ранее для региона «УРАЛ». В

Раздел Действия с дробями Раздел Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот Раздел Проценты (процент от числа, процентное соотношение чисел, процентное изменение) Раздел Депозиты, простой и сложный

Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. 1. Определение натуральных, целых, рациональных чисел. 2. Признаки делимости на 10, на 5, на 2. 3. Признаки делимости на 9, на 3. 4. Основное свойство

Тема. Развитие понятия о числе. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме

4 Вопросы для повторения I. Натуральные числа. Натуральный ряд.. Числа и цифры. Десятичная система счисления. 3. Разряды и классы. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. 4. Сравнение натуральных

Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

1. Нахождение процента ОТ числа Справка В1 Проценты 1% - это есть одна сотая часть чего-либо, то есть 1% = 0,01 =. Соответственно, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Найдем, например, 25%

Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 АЛГЕБРА... 5 Числа, корни и степени... 5 Основы тригонометрии... 20 Логарифмы... 0 Преобразование выражений... 5 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА... 57 Уравнения... 57 Неравенства... 91

Дом Учителя Уральского федерального округа XI Международная Олимпиада по основам наук Второй этап. Высшая лига. Научный руководитель предметного проекта: Гривкова Елена Львовна, учитель математики высшей

Ответы на экзаменационные билеты по математике 6 класс днр >>> Ответы на экзаменационные билеты по математике 6 класс днр Ответы на экзаменационные билеты по математике 6 класс днр Сложение вычитание смешанных

Справочный материал «Математика 5 класс» Натуральные числа Числа, которыми пользуются при счёте, называют натуральными. Обозначают их латинской буквой Ν. Число 0 не является натуральным! Способ записи

МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ДИДАКТИЧЕСКАЯ ДА ИЧЕС КАЯ БИБЛИОТЕКА БЛИО ИОТЕ Предлагаем дидактические материалы по теме «Десятичные дроби»: карточки для индивидуальной

Алгоритм нахождения области допустимых значений алгебраической дроби. Пример. Найти область допустимых значений: х 25 (х 5) (2х+4). 1. Выписать знаменатель алгебраической дроби; 2. Приравнять выписанный

Тема 3. «Отношения. Пропорции. Проценты» Отношение двух чисел это частное от деления одного из них на другое. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число

Нахождение чисел Пример 1. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметической дробей равно. Найдите эти дроби. Решение. По условию

Четверть 1 Какие числа являются натуральными? Как прочитать число? Как записать цифрами число? Соотношения между единицами Как начертить координатный луч и отметить на этом луче точки? Формулы Числа, которые

Номер урока Тема урока КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Кол-во часов Глава 1. Обыкновенные дроби. 1. Делимость чисел 24 ч 1-3 Делители и кратные 3 Делитель, кратное, наименьшее кратное натурального

Тема. Развитие понятия о числе Аннотация: Учебное пособие разработано в соответствии с Рабочей программой общеобразовательной учебной дисциплины ОДП.0 Математика. Учебное пособие содержит: теоретический

«Согласовано» «Утверждаю» Зам.директора по УВР Директор школы г. г. 6 класс Календарно-тематическое планирование по математике (заочная форма обучения) 2018-2019 учебный год Учебник: Виленкин Н.Я., Жохов

Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Числовым выражением называется одна или несколько числовых величин (чисел), соединенных между собой знаками арифметических действий: сложения,

Календарно-тематическое планирование математика 6 класс (5 часов в неделю, всего 170 часов) урока Тема урока 1-3 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, сложение и вычитание десятичных

Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

1 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Иррациональные числа Простейший пример об измерении длины диагонали единичного квадрата показывает что операция извлечения квадратного корня из рационального числа

26. Задачи на целые числа Найти наибольший общий делитель чисел (1 8): 1. 247 и 221. 2. 437 и 323. 3. 357 и 391. 4. 253 и 319. 5. 42 4 и 54 3. 6. 78 4 и 65 2. 7. 77 3 и 242 2. 8. 51 3 и 119 2. 9. Сумма

Содержание: 1. Сложение и вычитание натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. 2. Числовые и буквенные выражения. Уравнение. 3. Умножение натуральных чисел. 4. Деление натуральных чисел.. Обыкновенные

ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Основное свойство дроби П РАВ И ЛО ОБРАЗЦЫ ЗАД АН И Я Приведи дробь к новому знаменателю: 1) Умнож ь (и ли раздели) знаменатель дроби на число. 2) Умножь (и ли раздели) числитель дроби на то же число.

I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Для иностранных слушателей подготовительного отделения АВТОР: Старовойтова Наталья Александровна кафедра довузовской подготовки и профориентации 1 2 3 8 4 Числа; ; ; ; 2 3 7 5 4 - обыкновенные дроби.

АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

СОДЕРЖАНИЕ Математические символы... 3 Сравнение чисел... 4 Сложение... 5 Связь между компонентами сложения... 5 Переместительный закон сложения... 6 Сочетательный закон сложения... 6 Порядок действий...

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ПОДГОТОВКЕ К ОТВЕТУ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ (в справочном материале гиперссылки на интернет-ресурсы выделены синим цветом) БИЛЕТ

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Тема 1. Направление отсчета Разбор решения задач по темам Глава 1 «Отрицательные числа» Задания к этой теме носят практический характер, важные для понимания использования знаков «+» и, для выработки навыков

СЛОЖЕНИЕ Прибавить 1 к числу означает получить число, следующее за данным: 4+1=5, 1+1=14 и т.д. Сложить числа 5 и значит прибавить к 5 три раза единицу: 5+1+1+1=5+=8. ВЫЧИТАНИЕ Вычесть 1 из числа означает

2. Общие линейные и евклидовы пространства Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов

ЛЕКЦИЯ Понятие о матрице и ее свойства Действия над матрицами Понятие матрицы Матрицей порядка (размерности) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую столбцов: () i строк

Арифметика - кл ОТВЕТЫ: Тема Умножение и деление десятичных дробей),) 00,0 Тема Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями)) Тема Деление обыкновенных дробей))) и Тема Пропорции) Тема

3 Уважаемый читатель! В ваших руках современный справочник, который поддержит вас при обучении в 5 11 классах, поможет подготовиться к экзаменам, даст возможность без труда поступить в вуз. В справочнике

Урока Тема урока Примечание Делимость чисел 16 ч. 1 Делимость натуральных чисел 2 Делители и кратные числа 3 Делители числа 4 Кратные числа 5 Признаки делимости на 10 6 Признак делимости на 5, на 2 7 Признак

Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R 1. Множества. Операции над множествами. 2. Множество натуральных чисел N. 3. Множество целых чисел Z. Делимость целых чисел. Признаки делимости. 4. Рациональные

Москва: Издательство АСТ: Астрель, 2016. 284, с. (Академия начального образования). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Содержание Уважаемые взрослые!... 6 Числа

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 Федеральное агенство по образованию Уральский государственный университет им. А. М. Горького В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 УДК 517.13(075.3)

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Сборник для

ПОДГОТОВКА К ОГЭ Справочные материалы для учащихся 9 класса Алгебра Натуральные числа и действия над ними Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Системы уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где f(x, y), g(x, y) некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных

Математика класс. Учитель Демидова Елена Николаевна четверть..делимость ЧИСЕЛ Делители и кратные. Признаки делимости на 0, и. Признаки делимости на и на 9. Простые и составные числа. Разложение на простые

6 класс (ФГОС ООО) урока Основной вид Содержание (раздел, темы) учебной деятельности Повторение курса математики 5 класса (ч.) Количество часов Материал учебника Корректировка Повторение курса математики.

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Занятие 16 Отношения. Пропорции. Проценты Частное 12: 6 = 2 это отношение чисел 12 и 6. Отношение чисел 12 и 6 равно числу 2. числу 2. Частное 2: = 2 это отношение чисел 2 и. Отношение чисел 2 и равно

Задача 1 ЕГЭ -2015 (базовый) Если нужен только ответ первый пример 2,65 - второй пример 3,2 - третий пример -1,1 Это задание на действия с обыкновенными дробями. Вот небольшая теория для тех, кто слегка

Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Математика 6 класс СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ Арифметика Натуральные числа. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на, 5, 9, 0. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

(№ 2475) Флакон шампуня стоит 200 рублей Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

(№ 2491) Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 15%?

(№ 2503) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 550 рублей после понижения цены на 15%?

(№ 2513) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку. Торговая наценка составляет 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?

(№ 2595) Железнодорожный билет для взрослого стоит 550 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 4 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

(№ 2601) Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

(№ 2617) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

(№ 6193) В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?

(№ 6235) Клиент взял в банке кредит 3000 руб. на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?

(№ 24285) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 13050 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

(№ 24261) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 14500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

(№ 2587) Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

• целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)

• десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)

• бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа .

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество точек. Выглядит следующим образом:

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и равна 0,5

А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Значение дроби равно 1,5

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Значение дроби равно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

Это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь

Значение дроби равно 2,5

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

(−6) : 2 = −3

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6: (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями и и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

Мы получили дробь , а должны были получить дробь .

Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так